Завершенная часть разностной машины Чарльза Бэббиджа, 1832. Этот усовершенствованный калькулятор был предназначен для создания таблиц логарифмов, используемых в навигации. Ценность чисел была представлена ​​положениями зубчатых колес, отмеченными десятичными числами.

Подробнее по этой теме

компьютер: The Difference Engine

Чарльз Бэббидж был английским математиком и изобретателем: он изобрел короволова, реформировал британскую почтовую систему и был пионером. ..

Как член-основатель Королевского астрономического общества, Бэббидж видел очевидную потребность в разработке и создании механического устройства, которое могло бы автоматизировать долгие и утомительные астрономические вычисления. Он начал с письма в 1822 году сэру Хэмфри Дэви, президенту Королевского общества, о возможности автоматизации построения математических таблиц, в частности таблиц логарифмов для использования в навигации. Затем он написал статью «О теоретических принципах механизма для расчета таблиц», которую он зачитал обществу позже в том же году.(Он выиграл первую золотую медаль Королевского общества в 1823 году.) Таблицы, которые использовались тогда, часто содержали ошибки, которые могли быть проблемой жизни и смерти моряков в море, и Бэббидж утверждал, что, автоматизируя производство таблиц, он может гарантировать их точность. Заручившись поддержкой в ​​обществе своей «Разностной машины», как он ее называл, Бэббидж затем обратился к британскому правительству с просьбой профинансировать разработку, получив один из первых в мире государственных грантов на исследования и технологические разработки.

Бэббидж очень серьезно подошел к проекту: он нанял мастера-машиниста, организовал пожаробезопасную мастерскую и построил пыленепроницаемую среду для тестирования устройства. До этого вычисления редко производились с точностью до 6 знаков; Бэббидж планировал регулярно выдавать 20- или 30-значные результаты. Разностная машина была цифровым устройством: она работала с дискретными цифрами, а не с гладкими величинами, и цифры были десятичными (0–9), представленными позициями на зубчатых колесах, а не двоичными цифрами («битами»), как это делал немецкий математик. -философ Готфрид Вильгельм фон Лейбниц одобрил (но не использовал) в своем «Счетчике шагов».Когда одно из зубчатых колес поворачивалось с 9 на 0, это заставляло следующее колесо перемещаться на одну позицию, неся цифру, точно так же, как работал калькулятор Лейбница Step Reckoner.

Однако система различий была больше, чем просто калькулятор. Он механизировал не просто один расчет, а целую серию вычислений по ряду переменных для решения сложной задачи. Он вышел далеко за рамки калькуляторов и в других отношениях. Как и в современных компьютерах, у Difference Engine было хранилище, то есть место, где можно было временно хранить данные для последующей обработки, и он был разработан для штамповки своих выходных данных в мягкий металл, который впоследствии можно было использовать для изготовления печатной формы.

Тем не менее, разностная машина выполнила только одну операцию. Оператор будет настраивать все свои регистры данных с исходными данными, а затем единственная операция будет многократно применяться ко всем регистрам, в конечном итоге приводя к решению. Тем не менее, по сложности и смелости конструкции он превосходил любые существовавшие в то время счетные устройства.

Полный двигатель, рассчитанный на размер комнаты, никогда не был построен, по крайней мере, Бэббиджем.Хотя он получал несколько государственных субсидий, они были спорадическими — правительства менялись, финансирование часто заканчивалось, и ему приходилось лично нести часть финансовых затрат, — и он работал с допусками строительных методов того времени или приближался к ним и столкнулся с многочисленные трудности строительства. Все работы по проектированию и строительству были прекращены в 1833 году, когда Джозеф Клемент, машинист, ответственный за сборку машины, отказался продолжать работу, если ему не была внесена предоплата. (Завершенная часть разностной машины находится на постоянной выставке в Музее науки в Лондоне.) См. Также Analytical Engine.

Исторические заметки из книги Стивена Вольфрама «Новый вид науки»

Ричард Фейнман и машина связи

У. Дэниел Хиллис для Physics Today

Однажды, когда я обедал с Ричардом Фейнманом, я сказал ему, что планирую основать компанию по созданию параллельного компьютера с миллионом процессоров. Его реакция была однозначной: «Это определенно самая глупая идея, которую я когда-либо слышал.«Для Ричарда безумная идея была возможностью либо доказать, что она ошибочна, либо доказать, что она верна. В любом случае он был заинтересован. К концу обеда он согласился провести лето, работая в компании.

Интерес Ричарда к вычислениям уходит корнями в его дни в Лос-Аламосе, где он руководил «компьютерами», то есть людьми, которые работали с механическими калькуляторами. Там он сыграл важную роль в создании некоторых из первых программируемых счетных машин для физического моделирования.Его интерес к этой области возрос в конце 1970-х, когда его сын Карл начал изучать компьютеры в Массачусетском технологическом институте.

Я познакомился с Ричардом через его сына. Я был аспирантом лаборатории искусственного интеллекта Массачусетского технологического института, и Карл был одним из студентов, помогавших мне с моим дипломным проектом. Я пытался сконструировать компьютер достаточно быстро, чтобы решать проблемы здравого смысла. Машина, как мы ее предполагали, будет содержать миллион крошечных компьютеров, соединенных коммуникационной сетью.Мы назвали это «машиной связи». Ричард, всегда интересовавшийся деятельностью сына, внимательно следил за проектом. Он скептически относился к этой идее, но всякий раз, когда мы встречались на конференции или я посещал Калифорнийский технологический институт, мы не спали до раннего утра, обсуждая детали запланированной машины. Впервые он, казалось, поверил, что мы действительно собираемся попытаться построить это, было на обеденном собрании.

Ричард прибыл в Бостон на следующий день после регистрации компании.Мы были заняты сбором денег, поиском места для аренды, выпуском акций и т. Д. Мы поселились в старом особняке недалеко от города, и когда появился Ричард, мы все еще оправлялись от шока, полученного от первых нескольких миллионов. долларов в банке. Несколько месяцев никто не думал ни о чем техническом. Мы спорили о том, как должно называться название компании, когда Ричард вошел, отсалютовал и сказал: «Ричард Фейнман явился на службу.Хорошо, босс, какое у меня задание? »Собравшаяся группа студентов MIT была поражена.

После поспешного частного обсуждения («Я не знаю, вы наняли его …») мы сообщили Ричарду, что его задание будет заключаться в консультировании по применению параллельной обработки в научных задачах.

«Звучит как вздор», — сказал он. «Дайте мне что-нибудь реальное».

Итак, мы отправили его купить канцелярские товары.Пока его не было, мы решили, что больше всего нас беспокоит маршрутизатор, который доставляет сообщения от одного процессора к другому. Мы не были уверены, что наш дизайн сработает. Когда Ричард вернулся с покупки карандашей, мы дали ему задание разобрать роутер.

Машина

Маршрутизатор машины подключения был частью оборудования, которое позволяло процессорам обмениваться данными.{12] $ провода. Вместо этого мы планировали соединить процессоры в 20-мерный гиперкуб, чтобы каждому процессору нужно было напрямую общаться только с 20 другими. Поскольку многие процессоры должны были обмениваться данными одновременно, многие сообщения будут конкурировать за одни и те же провода. Задача маршрутизатора заключалась в том, чтобы найти свободный путь через эту 20-мерную пробку или, если он не мог, удерживать сообщение в буфере, пока путь не станет свободным. Наш вопрос Ричарду Фейнману заключался в том, предоставили ли мы достаточно буферов для эффективной работы маршрутизатора.

В течение первых нескольких месяцев Ричард начал изучать принципиальные схемы маршрутизатора, как если бы они были объектами природы. Он был готов выслушать объяснения того, как и почему все работает, но в основном он предпочитал выяснять все сам, моделируя действие каждой из схем карандашом и бумагой.

Тем временем остальные из нас, счастливые найти что-то, чем занять Ричарда, занялись заказом мебели и компьютеров, наняли первых инженеров и договорились о том, что Агентство перспективных исследовательских проектов обороны (DARPA) заплатит. на разработку первого прототипа.Ричард проделал замечательную работу, сосредоточившись на своем «задании», лишь изредка останавливался, чтобы помочь подключить компьютерный зал, настроить механический цех, обменяться рукопожатием с инвесторами, установить телефоны и весело напомнить нам о том, какими сумасшедшими мы все были. Когда мы наконец выбрали название компании Thinking Machines Corporation, Ричард был в восторге. «Это хорошо. Теперь мне не нужно объяснять людям, что я работаю с кучкой психов. Я могу просто назвать им название компании.«

Техническая сторона проекта явно выходила за рамки наших возможностей. Мы решили упростить процесс, начав с 64 000 процессоров, но даже тогда объем работы был огромным. Нам пришлось разработать собственные кремниевые интегральные схемы с процессорами и маршрутизатором. Нам также пришлось изобрести механизмы упаковки и охлаждения, написать компиляторы и ассемблеры, разработать способы одновременного тестирования процессоров и так далее. Даже простые проблемы, такие как соединение плат вместе, приобрели совершенно новый смысл при работе с десятками тысяч процессоров.Оглядываясь назад, можно сказать, что если бы у нас было хоть какое-то представление о том, насколько сложным будет проект, мы бы никогда не начали.

«Организуйте этих парней»

Я никогда раньше не управлял большой группой, и я был явно не в себе. Ричард вызвался помочь. «Мы должны организовать этих ребят», — сказал он мне. «Позвольте мне рассказать вам, как мы сделали это в Лос-Аламосе».

У каждого великого человека, которого я знаю, было определенное время и место в своей жизни, которые они использовали в качестве ориентира; время, когда все работало так, как должно, и великие дела были достигнуты.Для Ричарда это время было в Лос-Аламосе во время Манхэттенского проекта. Всякий раз, когда что-то становилось «дерзким», Ричард оглядывался назад и пытался понять, чем сейчас было иначе, чем тогда. Используя этот подход, Ричард решил, что мы должны выбрать эксперта в каждой важной области машины, такой как программное обеспечение, упаковка или электроника, чтобы стать «лидером группы» в этой области, по аналогии с лидерами группы в Лос-Аламосе.

Вторая часть кампании Фейнмана «Давайте организовываться» заключалась в том, что мы должны начать регулярную серию семинаров с приглашенными докладчиками, которые могут иметь интересные дела с нашей машиной.Идея Ричарда заключалась в том, что мы должны сосредоточиться на людях с новыми приложениями, потому что они будут менее консервативны в отношении того, какой компьютер они будут использовать. На наш первый семинар он пригласил Джона Хопфилда, своего друга из Калифорнийского технологического института, чтобы он рассказал нам о своей схеме построения нейронных сетей. В 1983 году изучение нейронных сетей было таким же модным, как изучение ESP, поэтому некоторые люди считали Джона Хопфилда немного сумасшедшим. Ричард был уверен, что ему подойдет компания Thinking Machines Corporation.

Хопфилд изобрел способ построения [ассоциативной памяти], устройство для запоминания паттернов. Чтобы использовать ассоциативную память, ее тренируют на серии шаблонов, таких как изображения букв алфавита. Позже, когда в памяти появляется новый образец, он может вспомнить аналогичный образец, который он видел в прошлом. Новое изображение буквы «А» будет «напоминать» воспоминание о другом «А», которое она видела ранее.Хопфилд выяснил, как такую ​​память можно построить с помощью устройств, похожих на биологические нейроны.

Похоже, что метод Хопфилда работает не только, но и на машине связи. Фейнман выяснил детали того, как использовать один процессор для моделирования каждого из нейронов Хопфилда, с силой связей, представленных в виде чисел в памяти процессоров. Из-за параллельной природы алгоритма Хопфилда все процессоры можно было использовать одновременно со 100% эффективностью, поэтому Connection Machine будет в сотни раз быстрее, чем любой обычный компьютер.

Алгоритм для логарифмов

Фейнман довольно подробно разработал программу для вычисления сети Хопфилда на машине связи. Больше всего он гордился подпрограммой для вычисления логарифмов. Я упоминаю об этом здесь не только потому, что это умный алгоритм, но и потому, что это особый вклад Ричарда в мейнстрим информатики. Он изобрел его в Лос-Аламосе.

Рассмотрим задачу поиска логарифма дробного числа от 1.{-k] $ может использоваться всеми процессорами. Все вычисления заняли меньше времени, чем деление.

Концентрация на алгоритме простой арифметической операции была типичной для подхода Ричарда. Ему нравились детали. Изучая маршрутизатор, он обращал внимание на действие каждого отдельного гейта, а при написании программы настаивал на понимании реализации каждой инструкции. Он не доверял абстракциям, которые не могли быть напрямую связаны с фактами.Когда несколько лет спустя я написал для [Scientific American] общую статью о машине подключения, он был разочарован тем, что в ней упущено слишком много деталей. Он спросил: «Откуда можно знать, что это не просто чушь?»

Настойчивость Фейнмана в рассмотрении деталей помогла нам раскрыть потенциал машины для численных вычислений и физического моделирования. В то время мы убедили себя, что машина соединений не будет эффективна при «обработке чисел», потому что у первого прототипа не было специального оборудования для векторов или арифметики с плавающей запятой.Оба эти требования были «известны» как требования для обработки чисел. Фейнман решил проверить это предположение на проблеме, с которой он был подробно знаком: квантовой хромодинамике.

Квантовая хромодинамика — это теория внутреннего устройства атомных частиц, таких как протоны. Используя эту теорию, в принципе возможно вычислить значения измеримых физических величин, таких как масса протона. На практике для таких вычислений требуется столько арифметических операций, что самые быстрые компьютеры в мире могут быть загружены ими на долгие годы.Один из способов сделать это вычисление — использовать дискретную четырехмерную решетку для моделирования части пространства-времени. Нахождение решения включает сложение вкладов всех возможных конфигураций определенных матриц на звеньях решетки или, по крайней мере, некоторой большой репрезентативной выборки. (По сути, это интеграл по путям Фейнмана.) Дело в том, что это настолько сложно, так это то, что вычисление вклада даже одной конфигурации включает в себя умножение матриц вокруг каждого маленького контура в решетке, и количество контуров растет как четвертая степень числа размер решетки.Поскольку все эти умножения могут выполняться одновременно, есть много возможностей, чтобы все 64000 процессоров были заняты.

Чтобы выяснить, насколько хорошо это будет работать на практике, Фейнману пришлось написать компьютерную программу для КХД. Поскольку единственный компьютерный язык, с которым Ричард был действительно знаком, был Basic, он создал параллельную версию Basic, на которой он написал программу, а затем моделировал ее вручную, чтобы оценить, насколько быстро она будет работать на Connection Machine.

Он был в восторге от результатов. «Эй, Дэнни, ты не поверишь в это, но эта твоя машина действительно может сделать кое-что [полезное]!» Согласно расчетам Фейнмана, машина соединений, даже без какого-либо специального оборудования для арифметики с плавающей запятой, превзойдет машину, которую CalTech создавала для выполнения вычислений КХД. С этого момента Ричард все больше и больше подталкивал нас к рассмотрению численных приложений машины.

К концу того лета 1983 года Ричард завершил свой анализ поведения маршрутизатора и, к нашему большому удивлению и удивлению, представил свой ответ в виде набора дифференциальных уравнений в частных производных. Физику это может показаться естественным, но для разработчика компьютеров рассматривать набор логических схем как непрерывную дифференцируемую систему немного странно. Уравнения маршрутизатора Фейнмана были в терминах переменных, представляющих непрерывные величины, такие как «среднее число 1 бит в адресе сообщения.«Я гораздо больше привык рассматривать анализ с точки зрения индуктивного доказательства и анализа случая, чем брать производную от« числа единиц »по времени. Наш дискретный анализ показал, что нам нужно семь буферов на чип; уравнения Фейнмана предполагают, что мы только нужно было пять. Мы решили перестраховаться и проигнорировать Фейнмана.

Решение проигнорировать анализ Фейнмана было принято в сентябре, но к весне следующего года мы уперлись в стену. Чипы, которые мы разработали, были немного велики для производства, и единственный способ решить проблему — сократить количество буферов на чип до пяти.Поскольку уравнения Фейнмана утверждали, что мы можем делать это безопасно, его нетрадиционные методы анализа стали казаться нам все лучше и лучше. Мы решили пойти дальше и сделать чипы с меньшим количеством буферов.

К счастью, он был прав. Когда мы сложили чипсы, машина заработала. Первой программой, запущенной на машине в апреле 1985 года, была игра Конвея «Жизнь».

Клеточные автоматы

Игра в жизнь — это пример класса вычислений, интересовавший Фейнмана, который называется [клеточные автоматы].Подобно многим физикам, которые всю свою жизнь исследовали все более и более низкие уровни детализации атома, Фейнман часто задавался вопросом, что же находится на дне. Одним из возможных ответов был клеточный автомат. Идея состоит в том, что «континуум» на своих самых низких уровнях может быть дискретным как в пространстве, так и во времени, и что законы физики могут быть просто макро-следствием среднего поведения крошечных клеток. Каждая ячейка может быть простым автоматом, который подчиняется небольшому набору правил и взаимодействует только со своими ближайшими соседями, как при вычислении решетки для КХД.Если бы Вселенная действительно работала таким образом, то это, вероятно, имело бы проверяемые последствия, такие как верхний предел плотности информации на кубический метр пространства.

Идея клеточных автоматов восходит к фон Нейману и Уламу, которых Фейнман знал в Лос-Аламосе. Недавний интерес Ричарда к этому предмету был вызван его друзьями Эд Фредкин и Стивен Вольфрам, оба из которых были очарованы моделями физики клеточных автоматов.Фейнман всегда быстро указывал им, что он считает их конкретные модели «странными», но, как и машину связи, он считал предмет достаточно сумасшедшим, чтобы вложить в него немного энергии.

Есть много потенциальных проблем с клеточными автоматами как моделью физического пространства и времени; например, нахождение набора правил, подчиняющихся специальной теории относительности. Одна из самых простых задач — просто сделать так, чтобы физика выглядела одинаково во всех направлениях.Наиболее очевидный образец клеточных автоматов, такой как фиксированная трехмерная сетка, имеет предпочтительные направления вдоль осей сетки. Можно ли реализовать даже ньютоновскую физику на фиксированной решетке автоматов?

У Фейнмана было предложенное решение проблемы анизотропии, которое он попытался (безуспешно) проработать подробно. Его идея заключалась в том, что лежащие в основе автоматы, вместо того, чтобы быть соединенными в регулярную решетку, такую ​​как сетка или узор из шестиугольников, могли быть связаны случайным образом.Волны, распространяющиеся через эту среду, в среднем будут распространяться с одинаковой скоростью во всех направлениях.

Клеточные автоматы начали привлекать внимание Thinking Machines, когда Стивен Вольфрам, который также проводил время в компании, предложил использовать такие автоматы не как модель физики, а как практический метод моделирования физических систем. В частности, мы могли бы использовать один процессор для моделирования каждой ячейки и правил, выбранных для моделирования чего-то полезного, например гидродинамики.Для двумерных задач было изящное решение проблемы анизотропии, поскольку [Фриш, Хасслахер, Помо] показали, что гексагональная решетка с простым набором правил приводит к изотропному поведению на макроуровне. Вольфрам использовал этот метод на Connection Machine, чтобы создать красивый фильм о турбулентном потоке жидкости в двух измерениях. Просмотр фильма взволновал всех нас, особенно Фейнмана, физическим моделированием. Мы все начали планировать дополнения к оборудованию, такие как поддержка арифметики с плавающей запятой, которая позволила бы нам выполнять и отображать различные симуляции в реальном времени.

Объяснитель Фейнмана

Между тем у нас были большие проблемы с объяснением людям, что мы делаем с клеточными автоматами. Когда мы заговорили о диаграммах переходов между состояниями и конечных автоматах, глаза потускнели. В конце концов Фейнман сказал нам объяснять это так:

«Мы заметили в природе, что поведение жидкости очень мало зависит от природы отдельных частиц в этой жидкости.Например, поток песка очень похож на поток воды или поток стопки шарикоподшипников. Поэтому мы воспользовались этим фактом, чтобы изобрести тип воображаемой частицы, которую нам особенно просто моделировать. Эта частица представляет собой идеальный шарикоподшипник, который может двигаться с одной скоростью в одном из шести направлений. Поток этих частиц в достаточно большом масштабе очень похож на поток природных флюидов ».

Это было типичное объяснение Ричарда Фейнмана.С одной стороны, это привело в ярость экспертов, которые работали над проблемой, потому что в нем не было даже упоминания обо всех умных проблемах, которые они решили. С другой стороны, слушатели обрадовались, поскольку они смогли уйти от этого с реальным пониманием явления и того, как оно связано с физической реальностью.

Мы попытались воспользоваться талантом Ричарда к ясности, заставив его критиковать технические презентации, которые мы сделали при представлении наших продуктов.Перед коммерческим анонсом Connection Machine CM-1 и всех наших будущих продуктов Ричард критиковал запланированную презентацию предложение за предложением. «Не говорите« отраженная акустическая волна ». Скажите [эхо] «. Или: «Забудьте все эти« локальные минимумы ». Просто скажите, что в кристалле застрял пузырь, и вы должны его вытряхнуть». Ничто не злило его сильнее, чем простая сложная речь.

Заставить Ричарда дать такой совет иногда было непросто.Он делал вид, что ему не нравится работать над проблемами, выходящими за рамки заявленной им области знаний. Часто в «Думающих машинах», когда его просили совета, он грубо отказывался со словами: «Это не мой отдел». Я никогда не мог понять, что это за отдел, но в любом случае это не имело значения, поскольку большую часть времени он проводил, работая над проблемами «не для моего отдела». Иногда он действительно сдавался, но чаще он возвращался через несколько дней после своего отказа и замечания: «Я думал о том, о чем вы спросили на днях, и мне это кажется… «Это сработало бы лучше всего, если бы вы не ожидали этого.

Я не имею в виду, что Ричард не решался делать «грязную работу». Фактически, он всегда был волонтером для этого. Многие посетители «Мыслительных машин» были шокированы, увидев, что у нас есть нобелевский лауреат, который паяет печатные платы или красит стены. Но то, что Ричард ненавидел или, по крайней мере, делал вид, что ненавидит, просили дать совет. Так почему же люди всегда просили его об этом? Потому что, даже когда Ричард не понимал, он всегда понимал лучше, чем все мы.И что бы он ни понимал, он мог дать понять и другим. Ричард заставил людей почувствовать себя детьми, когда взрослые относятся к нему как к взрослому. Он никогда не боялся говорить правду, и каким бы глупым ни был ваш вопрос, он никогда не заставлял вас чувствовать себя дураком.

Очаровательная сторона Ричарда помогла людям простить его за его некрасивые качества. Например, Ричард во многом был сексистом. Когда подходило время для ежедневной тарелки супа, он оглядывался в поисках ближайшей «девушки» и спрашивал, не принесет ли она ему.Не имело значения, была ли она поваром, инженером или президентом компании. Однажды я спросил женщину-инженера, которая только что стала жертвой этого, беспокоит ли ее это. «Да, это меня действительно раздражает», — сказала она. «С другой стороны, он единственный, кто когда-либо объяснил мне квантовую механику, как если бы я мог ее понять». В этом была суть очарования Ричарда.

Вид игры

Ричард работал в компании время от времени в течение следующих пяти лет.В конечном итоге к машине было добавлено оборудование с плавающей запятой, и по мере того, как машина и ее преемники начали коммерческое производство, они все больше и больше использовались для решения задач численного моделирования, которые Ричард впервые применил в своей программе QCD. Интерес Ричарда сместился с конструкции машины на ее применение. Как оказалось, создание большого компьютера — хороший повод поговорить с людьми, которые работают над одними из самых интересных проблем науки.Мы начали работать с физиками, астрономами, геологами, биологами, химиками — каждый из них пытался решить какую-то проблему, которую раньше было невозможно решить. Чтобы понять, как выполнять эти вычисления на параллельной машине, необходимо разбираться в деталях приложения, что Ричард любил делать.

Для Ричарда решение этих проблем было чем-то вроде игры. Он всегда начинал с самых простых вопросов вроде: «Какой самый простой пример?». или «Как узнать, правильный ли ответ?» Он задавал вопросы, пока не свел проблему к какой-то важной головоломке, которую, как он думал, он сможет решить.Затем он брался за работу, что-то писал на блокноте и смотрел на результаты. Пока он решал эту головоломку, его было невозможно прервать. «Не приставай ко мне. Я занят», — говорил он, даже не поднимая глаз. В конце концов он либо решит, что проблема слишком сложна (в этом случае он потеряет интерес), либо найдет решение (в этом случае он потратит следующие день или два, объясняя ее всем, кто слушает). Таким образом он работал над проблемами поиска в базах данных, геофизического моделирования, сворачивания белков, анализа изображений и чтения страховых форм.

Последний проект, над которым я работал с Ричардом, относился к моделируемой эволюции. Я написал программу, которая моделировала эволюцию популяций воспроизводящих половым путем существ на протяжении сотен тысяч поколений. Результаты были неожиданными, поскольку физическая форма населения резко увеличивалась, а не за счет ожидаемого устойчивого улучшения. Летопись окаменелостей показывает некоторые свидетельства того, что реальная биологическая эволюция может также демонстрировать такое «прерывистое равновесие», поэтому мы с Ричардом решили более внимательно изучить, почему это произошло.К тому времени он чувствовал себя плохо, поэтому я пошел и провел с ним неделю в Пасадене, и мы разработали модель эволюции конечных популяций, основанную на уравнениях Фоккера-Планка. Вернувшись в Бостон, я пошел в библиотеку и обнаружил книгу Кимуры на эту тему, и, к моему большому разочарованию, все наши «открытия» были изложены на первых нескольких страницах. Когда я перезвонил и рассказал Ричарду о том, что я нашел, он был в восторге. «Эй, мы все правильно поняли!» он сказал.«Неплохо для любителей».

Оглядываясь назад, я понимаю, что почти во всем, над чем мы работали вместе, мы оба были любителями. В цифровой физике, нейронных сетях и даже в параллельных вычислениях мы никогда не знали, что делаем. Но то, что мы изучали, было настолько новым, что никто другой точно не знал, что они делают. Только любители добились прогресса.

Говорить хорошие вещи, которые вы знаете

На самом деле, я сомневаюсь, что Ричарда больше всего интересовал «прогресс».Он всегда искал закономерности, связи, новый взгляд на что-то, но я подозреваю, что его мотивация заключалась не столько в понимании мира, сколько в поиске новых идей для объяснения. Акт открытия не был для него завершен, пока он не научил этому кого-то другого.

Я помню разговор, который у нас был примерно за год до его смерти, когда мы гуляли по холмам над Пасаденой. Мы исследовали незнакомую тропу, и Ричард, оправляясь от тяжелой операции по поводу рака, шел медленнее, чем обычно.Он рассказывал длинную и забавную историю о том, как он читал о своей болезни и удивлял своих врачей, предсказывая их диагноз и свои шансы на выживание. Я впервые слышал, как далеко зашел его рак, поэтому шутки не казались такими уж смешными. Он, должно быть, заметил мое настроение, потому что внезапно остановил рассказ и спросил: «Эй, в чем дело?»

Я заколебался. «Мне грустно, потому что ты умрешь».

«Ага, — вздохнул он, — меня это тоже иногда беспокоит.Но не так много, как вы думаете ». И после еще нескольких шагов:« Когда ты станешь таким же старым, как я, ты начнешь понимать, что в любом случае рассказал другим людям все то хорошее, что знаешь ».

Несколько минут мы шли молча. Затем мы подошли к месту, где пересекалась еще одна тропа, и Ричард остановился, чтобы осмотреть окрестности. Внезапно его лицо озарила ухмылка. «Эй, — сказал он, забыв все следы печали, — держу пари, я могу показать тебе лучший путь домой.«

Так он и сделал.

Посетите главную страницу или подпишитесь на наш блог

границ | Квантово-конечный автоматный подход к моделированию химических реакций

1 Введение

В последнее время связь между сложными реакциями и их термодинамикой вызвала огромный резонанс среди исследовательских сообществ. Первоначально, в 1970-х годах, Конрад [1] обработал информацию о молекулярных системах и заявил, что сложные биохимические системы не могут быть проанализированы на классических компьютерах.До сих пор в искусственных подходах для решения проблем используются сложные биомолекулы или системы реакции-диффузии на основе логических вентилей [2–4]. Классические системы ненадежны и неспособны описывать квантовые системы. Некоторые задачи, невозможные в классических системах, могут быть реализованы в квантовых системах. Квантовые вычисления относятся к компьютерной технологии, основанной на принципах квантовой механики, которая описывает поведение и природу материи и энергии на квантовом уровне [5]. Квантовые вычисления демонстрируют вычислительную мощность и другие свойства компьютеров, основанных на принципах квантовой механики.

Модели конечных автоматов — это абстрактные вычислительные устройства, которые играют решающую роль в решении вычислительных задач в теоретической информатике. Классическая теория автоматов тесно связана с теорией формального языка, где автоматы ранжируются от самых простых до самых мощных в зависимости от их способности распознавания языка [6]. Классическая теория автоматов имеет большое значение из-за ее практических приложений в реальном времени при разработке нескольких областей. Поэтому естественной целью является изучение квантовых вариантов классических моделей автоматов, которые играют важную роль в квантовой обработке информации.

Теория квантовых автоматов разработана с использованием принципов квантовой механики и классических автоматов. Квантовые вычислительные модели позволяют исследовать ресурсы, необходимые для вычислений. Вскоре после мозгового штурма квантового алгоритма факторизации Шора [7] были представлены первые модели квантовых конечных автоматов (QFA). Первоначально Кондакс и Уотроус [8], а также Мур и Кратчфилд [9] отдельно предложили концепцию квантовых автоматов. С тех пор было изучено и продемонстрировано множество моделей квантовых автоматов в различных направлениях, таких как QFA, латвийская QFA, 1.5-сторонний QFA, двусторонний QFA (2QFA), квантовая последовательная машина, квантовые выталкивающие автоматы, квантовая машина Тьюринга, квантовые мультисчетные машины, квантовые автоматы с очередью [10], квантовые многоголовые конечные автоматы, QFA с классическими состояниями (2QCFA) [11 , 12], краткость состояний двусторонних вероятностных конечных автоматов (2PFA), QFA, 2QFA и 2QCFA [13–15], интерактивные системы доказательства с QFA [16, 17], квантовые конечные автоматы состояния матричного произведения [18 ], распознавание проблем с помощью QFA [19–22], квантово-омега-автоматы [23] и полуквантовые двусторонние конечные автоматы [24–26], преимущества временной сложности QFA [27], неоднородные классы полиномиального размера QFA [28, 29], QFA и линейная темпоральная логическая взаимосвязь [30] и многие другие, начиная с последних двух десятилетий [31–34].Эти модели эффективны при определении границ различных вычислительных возможностей и выразительной мощности [35–37]. Квантовые компьютеры более мощные, чем машины Тьюринга и даже вероятностные машины Тьюринга. Таким образом, математические модели квантовых вычислений можно рассматривать как обобщения их физических моделей.

Вычислительная биохимия — быстро развивающаяся область исследований на стыке биологии, химии, информатики и математики. Это помогает нам применять вычислительные модели для понимания биохимических и химических процессов и их свойств.Комбинация химии и классической теории автоматов обеспечивает конструктивные средства уточнения количества объектов, позволяющих понять энергетическую стоимость вычислений [38]. Исследования в области химических вычислений постоянно росли. Существует два способа моделирования сложных химических реакций: абстрактные устройства и формальные модели, основанные на перезаписи мультимножества [39]. Сети сложных химических реакций осуществляют химические процессы, имитирующие работу классических моделей автоматов.Недавно Дуэнас-Диез и Перес-Меркадер [38, 40] разработали химические конечные автоматы для обычных языков и химические автоматы с несколькими стеками для контекстно-свободных и контекстно-зависимых языков. Кроме того, дается термодинамическая интерпретация принятия / отклонения химических автоматов. Полезно понять энергетическую стоимость химических вычислений. Они использовали реактор с одним горшком (смешанный контейнер), где химические реакции и молекулярное распознавание происходят после нескольких этапов, без использования какой-либо вспомогательной геометрической помощи.

В классической теории автоматов известно, что двусторонние детерминированные конечные автоматы (2DFA) могут быть разработаны для всех регулярных языков. Также было исследовано, что 2PFA может быть разработан для нерегулярного языка L = {anbn | n≥1} за экспоненциальное время [38, 40]. Исследования последовательно развивались в области квантовых вычислений и обработки информации. В теории квантовых автоматов было доказано, что 2QFA может быть разработан для L с односторонней ограниченной ошибкой и остановлен за линейное время.Более того, было продемонстрировано, что 2QFA также может быть разработан для неконтекстно-свободного языка L = {anbncn | n≥1} [8]. Следовательно, 2QFA строго более мощный, чем его классические аналоги, основанный на способности распознавания языка.

Область химии и химических вычислений играет важную роль в развитии вычислительных моделей, имитирующих поведение систем на атомарном уровне. На это сильно влияет вычислительная мощность квантовых компьютеров. Исходя из вышеупомянутых фактов, мы смоделировали химические реакции в форме формальных языков и представили те, которые используют двусторонние QFA.Основная цель — изучить, как химические реакции выполняют идентификацию химической последовательности, эквивалентную моделям квантовых автоматов, без использования биохимии или каких-либо вспомогательных устройств. Решающим преимуществом этого подхода является то, что химические реакции в форме подписей принятия / отклонения могут обрабатываться за линейное время с односторонней ограниченной ошибкой (если автомат допускает ошибку только в одном направлении, т. Е. Либо в случаях «нет», либо в случаях «да»). Эта статья имеет следующий вид: Подраздел посвящен предыдущим работам.В разделе 2 даются некоторые предварительные сведения. Определение двусторонних QFA дано в разделе 3. В разделе 4 химические реакции транскрибируются на формальных языках и моделируются с использованием подхода двусторонних QFA. Краткое изложение работы приведено в Разделе 5. Наконец, Раздел 6 является заключением.

1.1 Предыдущие работы

Область химических вычислений имеет богатую и интересную историю. Различные исследователи представили химические вычисления, используя концепцию систем реакции-диффузии на основе логических вентилей и подходов искусственного интеллекта.В начале 1970-х Конрад [1] дифференцировал обработку информации в молекулах с помощью цифровых вычислений. Почти десять лет спустя Okamoto et al. [43] предложили концепцию теоретического химического диода в циклических ферментных системах. Доказано, что его можно использовать для анализа динамического поведения событий метаболического переключения в биокомпьютере. В 1991 году Hjelmfelt et al. [44] разработали нейронные сети и конечные автоматы с использованием химических диодов. Было обнаружено, что выполнение универсальной машины Тьюринга возможно с использованием соединительных химических диодов.Hjelmfelt et al. построил синхронизированные конечные автоматы из двоичного сумматора, двоичного декодера и стековой памяти и показал, что конечные автоматы можно моделировать с помощью синхронизированных нейронных сетей.

В 1995 году Тот и Шоуолтер [45] реализовали логические вентили И и ИЛИ, используя системы реакции-диффузии, в которых сигналы программируются с помощью химических волн. Это была первая эмпирическая реализация химических логических ворот. В 1997 году Магнаско [46] показал, что логические вентили могут быть построены и реализованы в химической кинетике гомогенных растворов.Доказано, что такие конструкции обладают вычислительной мощностью, эквивалентной машине Тьюринга. Адамацки и Лейси Костелло [47] экспериментально поняли химический элемент XOR, следуя тому же подходу, который использовали Тот и Шоултер в 2002 году. Кроме того, Górecki et al. [48] ​​построили химические счетчики для обработки информации в возбудимых реакционно-диффузионных системах.

Это одно из самых многообещающих новых направлений исследований. Некоторые трудности могут быть вызваны соединением нескольких вентилей вместе для сложных вычислений.Таким образом, в последнее время исследователи начали сосредотачиваться на собственных химических вычислениях, то есть без систем реакции-диффузии. В 1994 году Адлеман [49] предложил концепцию вычисления ДНК и решил проблему гамильтонова пути, изменив цепи ДНК. В 2009 году Бененсон [2] рассмотрел инструменты биологических измерений для биокомпьютеров нового поколения. Prohaska et al. [3] изучили белковый домен с помощью вычисления хроматина и представили хроматин как мощную машину для химических вычислений и обработки информации.В 2012 году Брайант [4] доказал, что хроматиновый компьютер вычислительно универсален, используя его для решения примера комбинаторной задачи.

Структуры ДНК и РНК представлены с использованием концепции классической теории автоматов [50, 51]. Krasinski et al. [52] представляли ограниченный фермент в ДНК с автоматами выталкивания в кольцевом режиме. Хренников и Юрова [53] смоделировали поведение белковых структур, используя классическую теорию автоматов, и исследовали сходство между квантовыми системами и моделированием поведения белков.Бхатиа и Кумар [54] смоделировали вторичные структуры рибонуклеиновой кислоты (РНК), используя двусторонние QFA, которые останавливаются в линейном времени. Дуэнас-Диез и Перес-Меркадер разработали молекулярные машины для химических реакций. Собственные химические вычисления были реализованы за пределами логических вентилей, то есть с помощью химических автоматов [40]. Было продемонстрировано, что химические реакции, записанные на формальных языках, могут быть распознаны машиной Тьюринга без использования биохимии [38]. Недавно Bhatia и Zheng [55] смоделировали вторичные структуры РНК шпильки, псевдоузла и гантели с помощью 2QCFA.

2 Предварительные сведения

В этом разделе приведены некоторые предварительные сведения. Мы предполагаем, что читатель знаком с классической теорией автоматов и концепцией квантовых вычислений; в противном случае читатель может обратиться к теории автоматов [6], квантовой информации и вычислениям [5, 56]. Линейная алгебра унаследована от квантовой механики для описания области квантовых вычислений. Это важный математический инструмент, который позволяет нам представлять квантовые операции и квантовые состояния матрицами и векторами, соответственно, которые подчиняются правилам линейной алгебры.В квантовой теории вычислений используются следующие понятия линейной алгебры:

• Векторное пространство ( V ) [56]: векторное пространство ( V ) определяется над полем F комплексных чисел ℂ, состоящим из непустых набор векторов, удовлетворяющий следующим операциям:

• Сложение: Если два вектора | a〉 и | b〉 принадлежат V , то | a〉 + | b〉 ∈V.

• Умножение на скаляр: если | a〉 принадлежит V , то λ | a〉 ∈V, где λ∈ℂ.

• Нотация Дирака [5]: В квантовой механике нотация Дирака является одной из самых характерных особенностей линейной алгебры.Комбинация вертикальных и угловых стержней (|〉 〈|) используется для развертывания квантовых состояний. Он обеспечивает внутреннее произведение любых двух векторов. Бюстгальтер 〈b | и ket | a〉 представляют вектор-строку и вектор-столбец соответственно.

• Квантовый бит [34]: Квантовый бит (кубит) — это единичный вектор, определенный в комплексном векторном пространстве ℂ2. В общем, он представлен как суперпозиция двух базисных состояний, помеченных | 0〉 и | 1〉.

• Вероятность появления состояния | 0〉 равна | α | 2, а | 1〉 равна | β | 2. Он удовлетворяет | α | 2+ | β | 2 = 1. Две комплексные амплитуды (α и β) представлены одним кубитом. Таким образом, 2n комплексных амплитуд могут быть представлены n кубитами.

• Квантовое состояние [5]: квантовое состояние | ψ〉 определяется как суперпозиция классических состояний

• Унитарное преобразование: в квантовой механике преобразование между квантовыми системами должно быть унитарным. Рассмотрим состояние | ψ〉 квантовой системы в момент времени t : | ψ〉 = α1 | w1〉 + α2 | w2〉 +… + αn | wn〉, преобразованное в состояние | ψ ′〉 в момент времени t ‘: | ψ ′〉 = α1 ′ | w1〉 + α2 ′ | w2〉 +… + αn ′ | wn〉, где комплексные амплитуды связаны соотношением | ψ ′ (t ′)〉 = U (t′ − t) | ψ (t )〉, Где U обозначает зависящий от времени унитарный оператор, который удовлетворяет тому, что (U (t′ − t)) * U (t′ − t) = 1 и ∑ i = 1n | αi | 2 = | αi ′ | 2 = 1 [5].

• Гильбертово пространство: физическая система описывается комплексным векторным пространством, называемым гильбертовым пространством H [56].Это позволяет нам описать основу квантовой системы. Прямая сумма | x | y〉: H⊕H → ℂ или скалярное произведение | x | v〉: H⊗H → ℂ двух подпространств удовлетворяет следующим свойствам для любых векторов:

• Линейность: (α 〈x | + β 〈y |) | z〉 = α | x | z〉 + β | y | z〉.

• Симметричное свойство: | x | y〉 = | y | x〉.

• Положительность: | x | x〉 ≥0 и | x | x〉 = 0, если x = 0, где x∈H.

• где x, y, z∈H и α, β∈ℂ.

• Квантовый конечный автомат (QFA) [57]: он определяется как пятерка (Q, Σ, sint, Pacc, Uσ), где

• Q — это набор состояний,

• Σ — это входной алфавит,

• Гильбертово пространство H и sinit∈H — это начальный вектор, такой что | sinit | 2 = 1,

• Hacc⊂H и Pacc — оператор проекции принятия на Hacc,

• Uσ обозначает унитарный переход матрица для каждого входного символа (σ∈Σ).

Процедура вычисления QFA состоит из входной строки w = σnσ2… σn. Автомат работает, считывая каждый входной символ, и соответствующие им унитарные матрицы применяются к текущему состоянию, начиная с начального состояния. Квантовый язык, принятый QFA, представлен в виде функции fQFA (w) = | sinitUwPacc | 2, где Uw = Uσ1Uσ2… Uσn. Головке ленты разрешается двигаться только в правильном направлении. Наконец, наблюдается вероятность QFA в состоянии принятия: то есть указывается, принята ли входная строка QFA или отклонена.Его также называют квантовым конечным автоматом реального времени.

В зависимости от движения головки ленты, QFA классифицируется как односторонний QFA, 1,5-сторонний QFA и 2QFA. В 1,5-стороннем QFA головке ленты разрешено двигаться только в правом направлении или она может быть неподвижной, но не может двигаться в левом направлении. Было доказано, что он может быть разработан для неконтекстно-свободных языков, если входная лента круговая [58]. В этом исследовании мы сосредоточились на модели 2QFA из-за большей вычислительной мощности по сравнению с ее классическими аналогами.

3 Двусторонний квантовый конечный автомат

Квантовый конечный автомат (QFA) — это квантовый вариант классического конечного автомата. В QFA квантовые переходы применяются путем считывания входных символов с ленты [9]. Двусторонний квантовый конечный автомат (2QFA) является квантовым аналогом двустороннего детерминированного конечного автомата (2DFA). В 2QFA ленточная головка может двигаться либо влево, либо вправо, либо может быть неподвижной. Иллюстрация 2DFA показана на рисунке 1.

РИСУНОК 1 . Представление двусторонних детерминированных конечных автоматов.

1. [9] Двусторонний квантовый конечный автомат представлен шестеркой (Q, Σ, δ, q0, Qacc, Qrej), где

• Q — конечный набор состояний.

• Σ — входной алфавит.

• Функция перехода δ определяется как δ: Q × Γ × Q × D → ℂ , где ℂ — комплексное число, Γ = Σ∪ {#, $} и D = {- 1,0, + 1} представляют левое, стационарное и правое направление ленточной головки.

• Q = Qacc∪ Qrej∪ Qnon, где Qnon, Qacc и Qrej представляют собой набор состояний без прерывания, принятия и отклонения, соответственно. Функция перехода должна удовлетворять следующим условиям:

(i) Условие локальной вероятности и ортогональности:

(ii) Первое условие отделимости:

(iii) Второе условие отделимости:

Для каждого σ∈Γ 2QFA называется упрощенным, если существует унитарный линейный оператор Vσ на внутреннем пространстве произведения такой, что L2 {Q} → L2 {Q}.Функция перехода представлена ​​как

, где q′Vσq — коэффициент при | q ′〉 в Vσ | q〉.

Рассмотрим входную строку w , записанную на входной ленте с обоими концевыми маркерами, такими как # w $. Расчет 2QFA производится следующим образом. Головка ленты находится над входным символом σ, а автомат находится в любом состоянии q . Затем состояние 2QFA изменяется на q ′ с амплитудой δ (q, σ, q ′, d) и перемещает головку ленты на одну ячейку вправо, в стационарном и левом направлениях согласно ∈ {−1,0, + 1}.Это соответствует унитарной эволюции в пространстве внутренних произведений ℋn.

Вычисление 2QFA представляет собой цепочку суперпозиций c0, c1, c2,…., Где c0 обозначает начальную конфигурацию. Для любого ci, когда автомат наблюдается в состоянии суперпозиции с амплитудой αc, он имеет вид Uδ | ci〉 ∑c∈Cnαc | ci〉, где Cn представляет собой набор конфигураций. Вероятность, связанная с конфигурацией, вычисляется абсолютными квадратами амплитуды. Суперпозиция считается действительной, если сумма квадратов модулей их амплитуд вероятности унитарна.В квантовой теории эволюция во времени задается унитарными преобразованиями. Каждая функция перехода δ подсказывает оператор преобразования гильбертова пространства ℋn за линейное время.

для каждого (q, j) ∈C | w |, где q∈Q, j∈Z | w | и продолжен на ℋn по линейности [9, 59].

4 Моделирование химических реакций

Прежде чем мы узнаем химические реакции с использованием двухсторонней модели QFA, важно показать, как работает вычислительная химия.На рисунке 2 показана иллюстрация распознавания языка с помощью модели химических вычислений. Он состоит из трех частей: i) смешанный контейнер, в котором происходит процесс вычислений, ii) входной транслятор, который переводит химические аликвоты во входные символы и выдает их последовательно в зависимости от времени обработки, iii) система для отслеживания реакции автомат как химический критерий. Наконец, химические вычисления создают четко определенные химические сигнатуры принятия / отклонения для входных данных.Например, если количество a s и b s равно на входе, то химическое вычисление производит тепло, то есть ввод считается принятым. В противном случае, если в конце вычисления не выделяется тепло, считается, что ввод отклонен системой. Ниже приведены конструкции двусторонних квантовых конечных автоматов химических реакций.

РИСУНОК 2 . Представление распознавания языка с помощью химических вычислений. Он воспроизводится из [40] по лицензии Creative Commons CCBY.

Теорема 1. Двусторонние QFA могут распознавать все регулярные языки.

Доказательство. Доказательство было показано в [5]. 9.

4.1 Химическая реакция-1, состоящая из обычного языка

Для наглядной и наглядной реализации мы можем выбрать реакцию осаждения в водной среде, такой как

Во время вычисления , если наблюдается белый осадок йодата серебра, то входная строка считается принятой; если в растворе нет осадка, струна отклонена из-за отсутствия реакции.Поэтому мы выбрали рецепты буквенных символов a для йодата калия (KIO3) и b для нитрата серебра (AgNO3) количественно. На рисунке 3 показано химическое представление символов a и b , реакции бимолекулярного осаждения [38]. Если осадок AgIO ₃ не представлен в растворе, то вычисление считается отклоненным. Например, входная строка w = aaab считается принятой из-за наличия осадка или, в равной степени, тепла, определенного во время вычислений.Но говорят, что ввод w = aa отклонен из-за отсутствия осадка или, точнее, тепла не наблюдается. Оператор Клини-звезда (Σ *) представляет собой набор бесконечных строк любой длины по входному алфавиту, а также пустую строку (ϵ). Язык «(a + b) *» означает строку, содержащую любое количество « a » или « b » в любом порядке или пустую строку. Язык «(ab) *» означает строку, содержащую любое количество « ab » или строку нулевой длины. На рисунке 4 показан соответствующий теоретический график переходов между состояниями 2QFA для распознавания L1.

РИСУНОК 3 . Иллюстрация кислотно-основной реакции L1.

РИСУНОК 4 . Диаграмма переходов состояний L1.

РИСУНОК 5 . Иллюстрация кислотно-основной реакции L2.

РИСУНОК 6 . Диаграмма переходов состояний L2.

РИСУНОК 7 . Иллюстрация кислотно-основной реакции L3.

РИСУНОК 8 . Диаграмма переходов состояний L3.

Теорема 2. Язык L1 = {(a + b) * a (a + b) * b (a + b) * aa * bb *}, представляющий реакцию осаждения в Eq.6 можно распознать по 2QFA.

Доказательство. Идея этого доказательства заключается в следующем. В начальном состоянии q0 считывает правый маркер № и перемещает голову в правильном направлении. Если символ b не встречается, значит, осадка нет, и ввод считается отклоненным 2QFA. Точно так же при считывании символа b состояние q0 изменяется на q1. Если нет символа a , то состояние преобразуется в состояние отказа qr1. Если входная строка w∈L1 содержит по крайней мере один a и один b , то во время вычисления присутствует йодат серебра, и говорят, что он распознается 2QFA.2QFA для L1 определяется следующим образом: M2QFA = (Q, Σ, q0, Qacc, Qrej, δ),

, где Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, qa1, qa2 , qr1, qr2}, где q0 и q2 используются для перемещения головки по направлению к $ при считывании a s и b s соответственно. Состояния q1 и q3 используются для подтверждения того, что последний считанный головкой символ — это a и b соответственно.

Σ = {a, b}, q0 — начальное состояние, Qacc = {qa1, qa2} и Qrej = {qr1, qr2}.

Характеристики переходных функций приведены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1 . Подробная информация о функциях перехода и головной функции для L1.

Можно отметить, что в 2QFA матрицы переходов состоят из 0 и 1, т.е. в основном двусторонний обратимый конечный автомат (2RFA). Следовательно, 2QFA может быть разработан для всех языков, поддерживаемых 2RFA. В матрице перехода каждый столбец и строка имеют ровно одну запись 1. Следовательно, скалярное произведение любых двух строк равно нулю. Известно, что способность распознавания языков 2RFA эквивалентна 2DFA.

4.2 Химическая реакция-2, состоящая из контекстно-свободного языка

Далее мы рассмотрели контекстно-свободный язык из иерархии Хомского, удовлетворяющий сбалансированной химической реакции между NaOH и малоновой кислотой следующим образом:

Языком, порожденным вышеупомянутой химической реакцией, является язык L2, состоящий из всех слов Дайка со сбалансированными круглыми скобками. На рис. 5 показана кислотно-основная реакция L2. 2QFA разработан для L2 следующим образом:

Теорема 3.Язык L2, состоящий из языка Дейка, состоящего из всех слов со сбалансированными круглыми скобками, может быть распознан 2QFA с вероятностью 1, в противном случае отклонен с вероятностью не менее 1−1N, где N — любое положительное число.

Доказательство. Идея этого доказательства заключается в следующем. Он состоит из трех этапов. Сначала в начальном состоянии q0 считывается первый символ, и обе головки начинают двигаться к правому маркеру $. Если входная строка начинается с закрытых круглых скобок, то говорят, что она отклонена. При чтении левого маркера № вычисление разбивается на N путей, обозначенных q1,0, q2,0,…, qN, 0.Каждый путь имеет одинаковую амплитуду 1N. Вдоль различных путей N и каждый путь детерминированно перемещается к маркеру правого конца $. Каждый вычислительный путь отслеживает открытые круглые скобки по отношению к закрытым круглым скобкам. Если в конце расчета наблюдается избыток открытых скобок, то говорят, что он отклонен. Это означает, что значение pH выше среднего значения pH, и наблюдается промежуточный серый оттенок. Во-вторых, при избытке закрытых скобок наблюдается самый темный серый тон, то есть значение pH меньше среднего значения pH.Считается, что он отклоняется 2QFA с вероятностью 1−1N. Если открытые и закрытые круглые скобки встречаются сбалансированно, входная строка считается принятой с вероятностью 1. Следовательно, значение pH равно среднему значению pH, и в конце вычисления наблюдается самый светлый серый тон. 2QFA для L2 определяется следующим образом: M2QFA = (Q, Σ, q0, Qacc, Qrej, δ), где Q = {q0, q1, q2, q3} ∪ {qi, j | 1≤i≤N, 0≤j≤max (i, N − i + 1)} ∪ {pk | 1≤k≤N} ∪ {si, 0, wi, 0, ri, 0 | 1≤i≤N} ∪ { qacc, qrej}, где q1 используется для проверки того, является ли первый символ открытыми скобками или нет, а q2 и q3 используются для обхода входной строки.На рисунке 6 показана диаграмма переходов между состояниями для L2.

Σ = {(,)}, q0 — начальное состояние, Qacc = {pN} и Qrej = {qr} ∪ {pk | 1≤k

Спецификация переходных функций приведена в таблице 2.

ТАБЛИЦА 2 . Подробная информация о функциях перехода и головной функции для L2.

4.3 Химическая реакция-3, состоящая из контекстно-зависимого языка

Чтобы реализовать химический 2QFA для контекстно-зависимого языка, мы использовали сеть реакций Белоусова-Жаботинского (BZ) для нелинейной колебательной химии [38], которая состоит из временных колебаний в системе бромата натрия и малоновой кислоты [60], как показано на рисунке 7, кислотно-основная реакция L3.На рисунке 8 показана диаграмма перехода между состояниями для L3.

В 2019 году Дуэнас-Диз и Перес-Меркадер [38] разработали химическую машину Тьюринга для реакционной сети BZ. Химическая реакция подается в реактор последовательно как {(BrO3-) n (MA) n (NaOH) n}, где n > 0. На формальном языке это записывается как L3 = {anbncn | n> 0}. Символ a интерпретируется как фракция бромата натрия, b используется для малоновой кислоты, а символ c транскрибируется как количество NaOH.Известно, что L3 является контекстно-зависимым языком и не может быть распознан конечными автоматами или автоматами со стеком. Хотя он может быть распознан КПК с двумя стеками, мы показали, что L3 может быть распознан 2QFA без использования какой-либо внешней помощи.

Теорема 4. Язык L3 = {anbncn | n> 0} может быть распознан 2QFA за линейное время. Для языка L3 = {anbncn | n> 0} и для произвольных N-вычислительных путей существует 2QFA такое, что для w∈L3; он принимает w с ограниченной ошибкой ϵ и отклоняет w∉L3 с вероятностью не менее 1–1N.

Доказательство. Схема доказательства для реакционной сети БЖ выглядит следующим образом. Он состоит из двух этапов. Сначала 2QFA просматривают вход, чтобы проверить форму a + b + c +. При чтении правого маркера $ вычисление разбивается на N путей, так что w1,0, w2,0,…, wN, 0. Во-вторых, первый путь используется для проверки, равны ли числа b s и c s. Второй путь используется для проверки начальной части входной строки, чтобы определить, находится ли она в {anbn | n> 0}.При считывании маркера правого конца $ оба пути разделяются на N разных путей с одинаковой амплитудой 1N. Наконец, после считывания правого маркера №, если количество a s и b s и количество b s и c s равны в соответствующих вычислительных путях, то все пути попадают в Наблюдаются N -путевое квантовое преобразование Фурье (QFT) и либо одно состояние принятия, либо состояния отклонения. Предположим, что если входная строка не в исправленном виде, то все пути вычисления читают # в разное время.Таким образом, их амплитуды не компенсируют друг друга, и входная строка считается отклоненной с вероятностью 1−1N. В противном случае считается, что входная строка распознается 2QFA с вероятностью 1.

5 Резюме

Таким образом, модель 2QFA может быть эффективно разработана для сбалансированной химической реакции и реакционной сети BZ с односторонней границей ошибки, которые останавливаются в линейное время. В таблице 3 показаны возможности распознавания языка различными вычислительными моделями. Известно, что классические 2DFA и 2PFA равны по вычислительной мощности односторонним детерминированным конечным автоматам (1DFA) [24, 61].Было доказано, что 2PFA могут быть разработаны для нерегулярных языков за ожидаемое полиномиальное время. Кроме того, было продемонстрировано, что химический КПК может быть разработан для вышеупомянутых химических реакций с несколькими стопками. Распознавание языков родными химическими автоматами можно найти в работах. 39–41. Но мы показали, что 2QFA может распознавать такие химические реакции без какой-либо внешней помощи. Было доказано, что 2QFA более мощный, чем классические варианты, потому что он следует принципу квантовой суперпозиции, чтобы быть в более чем одном состоянии одновременно на входной ленте.Для выполнения требуется как минимум O (log n) квантовых состояний для сохранения положения головки ленты, где n обозначает длину входной строки.

ТАБЛИЦА 3 . Сравнение вычислительной мощности моделей.

6 Заключение

Улучшение многих существующих вычислительных подходов придает импульс молекулярному и квантовому моделированию на электронном уровне. Это помогает проверить новые абстрактные подходы к рассмотрению молекул и материи. Предыдущие попытки смоделировать вышеупомянутые химические реакции использовали конечные автоматы и выталкивающие автоматы с несколькими стопками.В этом исследовании мы сосредоточились на хорошо известных языках иерархии Хомского и смоделировали те, которые используют двусторонние QFA. Решающее преимущество квантового подхода состоит в том, что эти химические реакции, записанные на формальных языках, могут быть проанализированы за линейное время без использования какой-либо внешней помощи. Мы показали, что двусторонние квантовые автоматы лучше своих классических вариантов за счет использования квантовых переходов. Насколько нам известно, такое моделирование химических реакций с помощью теории квантовых автоматов пока не проводится.В будущем мы попытаемся представить сложные химические реакции на формальных языках и смоделировать их с помощью других квантовых вычислительных моделей.

Заявление о доступности данных

Исходные материалы, представленные в исследовании, включены в статью; дальнейшие запросы можно направлять соответствующим авторам.

Вклад авторов

AB и SZ смоделировали химические реакции. А.Б. написал рукопись под руководством С.З.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть построены как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

SZ выражает признательность за частичную поддержку со стороны Национального фонда естественных наук Китая (№ 61602532), Фонда естественных наук провинции Гуандун в Китае (№ 2017A030313378) и Программы науки и технологий города Гуанчжоу в Китае. (№ 201707010194). Эта работа также была частично поддержана NSF-China (61772570), программой Pearl River S&T Nova в Гуанчжоу (201806010056) и Гуандунским фондом естественных наук для выдающихся молодых ученых (2018B030306025).

Ссылки

3. Прохаска С.Дж., Штадлер П.Ф., Кракауэр округ Колумбия. Инновация в регуляции генов: случай вычисления хроматина. J. Theor Biol. (2010). 265 : 27–44. doi: 10.1016 / j.jtbi.2010.03.011

Pubmed | CrossRef Полный текст | Google Scholar

5. Нильсен М.А., Чуанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. Нью-Йорк: AAPT (2002).

Google Scholar

6. Хопкрофт Дж. Э., Мотвани Р., Ульман Дж. Д.. Теория автоматов, языки и вычисления . Т. 24 . Нью-Йорк: Пирсон Эддисон Уэсли (2006). 19 п.

Google Scholar

7. Shor PW. Полиномиальные алгоритмы факторизации простых чисел и дискретных логарифмов на квантовом компьютере. SIAM Ред. (1999). 41 : 303–332. doi: 10.1137 / s0036144598347011

CrossRef Полный текст | Google Scholar

8. Кондач А., Уотрус Дж. О мощности квантовых конечных автоматов. В кн .: Материалы 38-го ежегодного симпозиума по основам информатики; 1997 20–22 октября; Майами-Бич, Флорида.IEEE (1997). п. 66–75.

Google Scholar

9. Мур К., Кратчфилд, JP. Квантовые автоматы и квантовые грамматики. Theor Comput Sci. (2000). 237 : 275–306. doi: 10.1016 / s0304-3975 (98) 00191-1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

10. Бхатия А.С., Кумар А. О мощности квантовых автоматов с очередями в реальном времени. Препринт arXiv arXiv: 1810.12095 (2018).

Google Scholar

11. Амбайнис А., Уотрус Дж. Двусторонние конечные автоматы с квантовыми и классическими состояниями. Theor Comput Sci. (2002). 287 : 299–311. doi: 10.1016 / s0304-3975 (02) 00138-x

CrossRef Полный текст | Google Scholar

12. Чжэн С., Цю Д., Ли Л., Груска Дж. Односторонние конечные автоматы с квантовыми и классическими состояниями. Языков живые . Берлин, Гейдельберг: Springer (2012). 273–290 с.

Google Scholar

13. Мегетти К., Палано Б., Пигиццини Г. Замечание о лаконичности детерминированных, недетерминированных, вероятностных и квантовых конечных автоматов. RAIRO Theor Inf Appl. (2001). 35 : 477–490. doi: 10.1051 / ita: 2001106

CrossRef Полный текст | Google Scholar

14. Чжэн С., Цю Д., Груска Дж., Ли Л., Матеус П. Краткость состояний двусторонних конечных автоматов с квантовыми и классическими состояниями. Theor Comput Sci. (2013). 499 : 98–112. doi: 10.1016 / j.tcs.2013.06.005

CrossRef Полный текст | Google Scholar

15. Якарылмаз А., Сэй А. Краткость двусторонних вероятностных и квантовых конечных автоматов .Препринт arXiv arXiv: 0903.0050 (2009).

Google Scholar

16. Нисимура Х., Ямаками Т. Применение квантовых конечных автоматов в интерактивных системах доказательства. J. Comput Syst Sci. (2009). 75 : 255–269. doi: 10.1016 / j.jcss.2008.12.001

CrossRef Полный текст | Google Scholar

17. Нисимура Х., Ямаками Т. Интерактивные доказательства с помощью квантовых конечных автоматов. Theor Comput Sci. (2015). 568 : 1–18. DOI: 10.1016 / j.tcs.2014.11.030

CrossRef Полный текст | Google Scholar

19. Чжэн С., Ли Л., Цю Д., Груска Дж. Задачи обещаний, решаемые с помощью квантовых и классических конечных автоматов. Theor Comput Sci. (2017). 666 : 48–64. doi: 10.1016 / j.tcs.2016.12.025

CrossRef Полный текст | Google Scholar

20. Груска Дж., Цю Д., Чжэн С. Обобщения распределенной проблемы обещаний deutsch – jozsa. Math Struct Comput Sci. (2017). 27 : 311–331. DOI: 10.1017 / s0960129515000158

CrossRef Полный текст | Google Scholar

21. Груска Дж., Цю Д., Чжэн С. Потенциал квантовых конечных автоматов с точным допуском. Int J Found Comput Sci. (2015). 26 : 381–398. doi: 10.1142 / s012

CrossRef Полный текст | Google Scholar

22. Гайнутдинова А., Якарылмаз А. Унарные вероятностные и квантовые автоматы в задачах обещания. Quant Inf Process. (2018). 17 : 28. DOI: 10.1007 / s11128-017-1799-0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

23. Бхатия А.С., Кумар А. Квантовые ω-автоматы над бесконечными словами и их отношения. Int J Theor Phys. (2019). 58 : 878–889. doi: 10.1007 / s10773-018-3983-0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

24. Shepherdson JC. Сведение двусторонних автоматов к односторонним. IBM J Res Dev. (1959). 3 : 198–200. doi: rd.32.0198 / rd.32.0198

CrossRef Полный текст | Google Scholar

25.Чжэн С., Груска Дж., Цю Д. О сложности состояний полуквантовых конечных автоматов. RAIRO Theor Inf Appl. (2014). 48 : 187–207. doi: 10.1051 / ita / 2014003

CrossRef Полный текст | Google Scholar

26. Ли Л., Цю Д. Нижние оценки размера полуквантовых конечных автоматов. Theor Comput Sci. (2016). 623 : 75–82. doi: 10.1016 / j.tcs.2015.09.031

CrossRef Полный текст | Google Scholar

27. Чжэн С., Цю Д., Груска Дж.Преимущества пространственно-временной сложности для квантовых вычислений. В: Международная конференция по теории и практике естественных вычислений; 2017 18-20 декабря 2017; Прага, Чешская Республика Springer (2017). п. 305–317. doi: 10.1007 / 978-3-319-71069-3_24

CrossRef Полный текст | Google Scholar

28. Ямаками Т. Релятивизации неоднородных семейств квантовых конечных автоматов. В: Международная конференция по нетрадиционным вычислениям и естественным вычислениям; Спрингер (2019). п. 257–271. doi: 10.1007 / 978-3-030-19311-9_20

CrossRef Полный текст | Google Scholar

29.Ямаками Т. Неоднородные семейства квантовых конечных автоматов полиномиального размера и квантовые вычисления в логарифмическом пространстве с советами полиномиального размера. В кн .: Международная конференция по теории и приложениям языков и автоматов; 2019 3-7 июня; Tokyo Springer (2019). п. 134–145. doi: 10.1007 / 978-3-030-13435-8_10

CrossRef Полный текст | Google Scholar

30. Бхатия А.С., Кумар А. О связи между линейной временной логикой и квантовыми конечными автоматами. J Logic Lang Inf. (2019). 29 : 109–120. doi: 10.1007 / s10849-019-09302-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

31. Бертони А., Мерегетти С., Палано Б. Квантовые вычисления: односторонние квантовые автоматы. В кн .: Международная конференция по развитию теории языка; Спрингер (2003). п. 1–20. doi: 10.1007 / 3-540-45007-6_1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

32. Цю Д., Ли Л. Обзор моделей квантовых вычислений: квантовые автоматы. Front Comput Sci China. (2008). 2 : 193–207. doi: 10.1007 / s11704-008-0022-y

CrossRef Полный текст | Google Scholar

33. Амбайнис А., Якарылмаз А. Автоматы и квантовые вычисления. Препринт arXiv: 1507.01988 (2015).

Google Scholar

34. Бхатиа А.С., Кумар А. Квантовые конечные автоматы: обзор, статус и направления исследований . Препринт arXiv arXiv: 1901.07992 (2019).

Google Scholar

35. Цю Д., Ли Л., Матеус П., Сернадас А. Экспоненциально более краткое квантовое распознавание обычных языков, отличных от rmm. J. Comput Syst Sci. (2015). 81 : 359–375. doi: 10.1016 / j.jcss.2014.06.008

CrossRef Полный текст | Google Scholar

36. Сингх Бхатия А. О некоторых аспектах квантовых вычислительных моделей . [Кандидатская диссертация]. Патиала (Индия): Институт инженерии и технологий Thapar (2020).

Google Scholar

37. Say AC, Якарылмаз А. Квантовые конечные автоматы: современное введение. Вычисления с новыми ресурсами . Нью-Йорк: Спрингер (2014).п. 208–222.

Google Scholar

38. Duenas-Diez M, Perez-Mercader J. Природные химические автоматы и термодинамическая интерпретация их экспериментальных реакций принятия / отклонения. Препринт arXiv: 1903.03827 (2019).

Google Scholar

39. Окубо Ф., Йокомори Т. Вычислительная мощность детерминизма и обратимости в автоматах химических реакций. Обратимость и универсальность . Спрингер (2018). п. 279–298.

Google Scholar

40.Дуэньяс-Диес М., Перес-Меркадер Дж. Как химия вычисляет: распознавание языка небиохимическими химическими автоматами. от конечных автоматов до машин Тьюринга. iScience (2019). 19 : 514–526. doi: 10.1016 / j.isci.2019.08.007

CrossRef Полный текст | Google Scholar

41. Фрейвальдс Р. Вероятностные двусторонние машины. В кн .: Международный симпозиум по математическим основам информатики; 1981 31 августа — 4 сентября; Штрбске Плесо, Чехословакия Шпрингер (1981).п. 33–45. doi: 10.1007 / 3-540-10856-4_72

CrossRef Полный текст | Google Scholar

42. Дворк К., Стокмейер Л. Пробел во временной сложности для двусторонних вероятностных конечных автоматов. SIAM J Comput. (1990). 19 : 1011–1023. doi: 10.1137 / 0219069

CrossRef Полный текст | Google Scholar

43. Окамото М., Сакаи Т., Хаяси К. Механизм переключения циклической ферментной системы: роль «химического диода». Biosystems (1987). 21 : 1–11.doi: 10.1016 / 0303-2647 (87)

-5

CrossRef Полный текст | Google Scholar

44. Hjelmfelt A, Weinberger ED, Ross J. Химическая реализация нейронных сетей и машин Тьюринга. Proc Natl Acad Sci USA. (1991). 88 : 10983–10987. doi: 10.1073 / pnas.88.24.10983

CrossRef Полный текст | Google Scholar

47. Adamatzky A, Costello BDL. Экспериментальные логические ворота в реакционно-диффузионной среде: ворота xor и за их пределами. Phys Rev. (2002). 66 : 046112. doi: 10.1103 / Physreve.66.046112

CrossRef Полный текст | Google Scholar

48. Горецки Дж., Йошикава К., Игараси Ю. О химических реакторах, которые могут рассчитывать. J. Phys Chem. (2003). 107 : 1664–1669. doi: 10.1021 / jp021041f

CrossRef Полный текст | Google Scholar

49. Адлеман Л.М. Молекулярное вычисление решений комбинаторных задач. Наука (1994). 266 : 1021–1024. DOI: 10.1126 / наука.7973651

CrossRef Полный текст | Google Scholar

50. Куппусами Л., Махендран А. Моделирование вторичных структур ДНК и РНК с использованием систем вставки-удаления матрикса. Int J Appl Math Comput Sci. (2016). 26 : 245–258. doi: 10.1515 / amcs-2016-0017

CrossRef Полный текст | Google Scholar

51. Куппусами Л., Махендран А., Кришна С. Н.. Матричные системы вставки-делеции для биомолекулярных структур. В: Международная конференция по распределенным вычислениям и интернет-технологиям; 9-12 февраля; Бхубанешвар, Индия Спрингер (2011).п. 301–312. doi: 10.1007 / 978-3-642-19056-8_23

CrossRef Полный текст | Google Scholar

52. Красински Т., Саковски С., Поплавски Т. К автономным многопозиционным биомолекулярным устройствам, построенным на ДНК. В: Шестой Всемирный конгресс по природе и биологическим вычислениям, 2014 г. (NaBIC 2014); 2014 30 июля — 01 августа; Порту, Португалия IEEE (2014 г.). п. 23–28.

Google Scholar

53. Хренников А., Юрова Е. Автоматная модель белка: динамика конформационных и функциональных состояний. Prog Biophys Mol Biol. (2017). 130 : 2–14. doi: 10.1016 / j.pbiomolbio.2017.02.003

CrossRef Полный текст | Google Scholar

54. Бхатия А.С., Кумар А. Моделирование вторичных структур РНК с использованием двусторонних квантовых конечных автоматов. Фракталы Слитного Хаоса. (2018). 116 : 332–339. doi: 10.1016 / j.chaos.2018.09.035

CrossRef Полный текст | Google Scholar

55. Бхатия А.С., Чжэн С. РНК-2QCFA: развивающиеся двусторонние квантовые конечные автоматы с классическими состояниями вторичных структур РНК.Препринт arXiv arXiv: 2007.06273 (2020).

Google Scholar

56. Ван Дж. Справочник по моделям и приложениям, основанным на конечном состоянии . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press (2012).

Google Scholar

57. Дзельме-Берзиня И. Квантовые конечные автоматы и логика . [Кандидатская диссертация]. Рига (Латвия): Латвийский университет (2010).

Google Scholar

58. Амано М., Ивама К. Неразрешимость на квантовых конечных автоматах. В: STOC ’99: материалы 31-го ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений; 1-4 мая 1999 г .; Атланта, Джорджия.Грузия: ACM (1999). п. 368–375.

Google Scholar

59. Бхатиа А.С., Кумар А. О мощности двусторонних многоголовых квантовых конечных автоматов. RAIRO Theor Inf Appl. (2019). 53 : 19–35. doi: 10.1051 / ita / 2018020

CrossRef Полный текст | Google Scholar

60. Field RJ, Koros E, Noyes RM. Колебания в химических системах. II. тщательный анализ временных колебаний в системе бромат-церий-малоновая кислота. J Am Chem Soc. (1972). 94 : 8649–8664. doi: 10.1021 / ja00780a001

CrossRef Полный текст | Google Scholar

61. Рабин М.О., Скотт Д. Конечные автоматы и проблемы их решения. IBM J Res Dev. (1959). 3 : 114–125. doi: 10.1147 / rd.32.0114

CrossRef Полный текст | Google Scholar

дифференциальных уравнений — Как решить (O / P) DE с помощью клеточного автомата?

Вот пример:

  dx = 1./1000;
сетка = ConstantArray [0, 1000];
сетка [[1]] = 1;

sol = CellularAutomaton [{
     {0., x_, _}:> x,
     {x_, _, _}:> x + dx x
     }, сетка, 1000] [[- 1, 2 ;;]];

sol2 = NDSolveValue [{
    y '[x] == y [x],
    у [0] == 1
    }, y, {x, 0, 1}];

Показывать[
 ListLinePlot [sol, DataRange -> {0, 1}, PlotStyle -> Толщина [0,02]],
 График [sol2 [x], {x, 0, 1}, PlotStyle -> {Dashed, White}]
 ]
  

Решение дифференциальных уравнений с помощью клеточных автоматов похоже на простое интегрирование Эйлера. Это можно сделать для многих типов дифференциальных уравнений, дискретизируя их с помощью e.грамм. центральные различия. В данном случае я просто применяю простое правило: $$ у (х + \ mathrm dx) = у (х) + у (х) \ mathrm dx $$ В Mathematica это правило выглядит так:

  {x_, _, _}:> x + dx x
  

Левая часть этого правила центрируется на элементе, который будет заменен правой частью.

CellularAutomaton предполагает, что сеть является циклической, по крайней мере, я не смог найти способ отключить это. (Конечно, в системе Mathematica есть и другие способы моделирования клеточных автоматов, но я придерживаюсь этого, чтобы подчеркнуть, что это клеточный автомат, с которым я решаю уравнение.) Это означает, что первый элемент в списке, установленный в 1, поскольку это начальное условие, будет заменен нулем, поскольку предыдущий элемент списка равен нулю. Чтобы остановить это, я включил правило

  {0., x_, _}:> x
  

0 в этом правиле — последний элемент в сетке.

Может быть, это спорно, действительно ли это клеточный автомат, потому что состояния не дискретны, но я также читал о «вещественных клеточных автоматах» и «непрерывных автоматах».Когда говорят о решении УЧП с использованием клеточных автоматов, я почти уверен, что речь идет о более широком классе методов на основе решеток.

Затем я покажу задачу из моего старого домашнего задания, касающуюся системы реакции-диффузии. Это решает связанную систему дифференциальных уравнений на сетке с использованием методов, аналогичных клеточным автоматам (но определенно с использованием непрерывных состояний). Я думаю, что, когда вы слышали об УЧП и клеточных автоматах, ваш источник мог подумать о чем-то подобном. .2 в

Вы можете думать о $ u $ и $ v $ как о количестве частиц двух разных типов. Частицы распространяются (диффундируют) в пространстве, а также вступают в реакцию друг с другом, что может привести к превращению частицы одного типа в частицы другого типа. Можно представить, что это приведет к очень простым решениям; что все частицы в конечном итоге будут одного типа или что все частицы будут равномерно распределены по всему пространству. Однако оказывается, что решения могут быть намного сложнее.2}

Мы могли бы реализовать это как свертку с таким ядром:

  ker = {
   {0, 1, 0},
   {1, -4, 1},
   {0, 1, 0}
   };
лапласиан = ListConvolve [кер, сетка];
  

Но мы также можем использовать встроенную функцию лапласиана :

  LaplacianFilter [u, 1, Padding-> "Periodic"]
  

Я указываю, что сетка должна быть периодической, потому что это то, что мы хотим для этого конкретного PDE.

Выполнение (дискретной) свертки и развитие клеточного автомата — это одно и то же.2 v + d LaplacianFilter [v, 1, Padding -> «Periodic»] шаг [a_, b_, d _] [{uval_, vval_}]: = { увалы + 0,01 дудт [а, б, увалы, валы], vval + 0,01 dvdt [b, uval, vval, d] } смоделировать [d_, nrOfIterations_]: = Модуль [ {u, v, a = 3, b = 8, L = 128}, u = ConstantArray [a, {L, L}] + RandomReal [{- 0,1 a, 0,1 a}, {L, L}]; v = ConstantArray [b / 1, {L, L}] + RandomReal [{- 0,1 b / a, 0,1 b / a}, {L, L}]; Nest [шаг [a, b, d], {u, v}, nrOfIterations] ] res = моделировать [2.3, 20000]; MatrixPlot [#, ImageSize -> 250, PlotTheme -> «Монохромный»] & / @ res // Строка

Левый график показывает решение для и , а правый график — решение для v .Решения дифференциальных уравнений были найдены путем обновления ячеек в решетках по локальным правилам (для обновления используется только значение ячейки и ее четырех прямых соседей). Как я уже сказал, я думаю, что это то, что люди могут называть решением УЧП с клеточными автоматами, потому что у них много общего. Более простой пример только с одной переменной отличается еще меньше, главным образом тем, что эти уравнения в частных производных являются непрерывными.

Растворы u и v могут обозначать концентрацию двух разных типов частиц, и здесь интересно то, что распределения частиц не являются однородными.На самом деле распределения показывают довольно сложные закономерности, и считается, что этот тип формирования узоров объясняет множество сложных закономерностей, которые мы видим повсюду в природе. Свойство, заключающееся в том, что локальные правила могут создавать сложные паттерны, также известно клеточным автоматам с дискретными состояниями, так что и в этом отношении существует взаимосвязь.

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера на прием файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с вашим системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Дифференциальная конфиденциальность | Запрос PDF

Защита конфиденциальности — одно из основных препятствий для обмена данными. Данные временных рядов обладают характеристиками автокорреляции, непрерывности и большого масштаба. Текущие исследования публикации данных временных рядов в основном игнорируют корреляцию данных временных рядов и отсутствие защиты конфиденциальности. В этой статье мы изучаем проблему публикации данных коррелированных временных рядов и предлагаем алгоритм публикации данных временных рядов с автокорреляцией на основе скользящего окна, называемый SW-ATS.Вместо использования глобальной чувствительности в традиционных механизмах дифференцированной конфиденциальности мы предложили периодическую чувствительность, чтобы обеспечить более высокую степень гарантии конфиденциальности. SW-ATS представляет механизм скользящего окна с корреляцией между последовательностью добавления шума и исходными данными временного ряда, гарантированными неразличимостью последовательности, чтобы защитить конфиденциальность последних данных. Мы доказываем, что SW-ATS удовлетворяет ε-дифференциальной конфиденциальности. По сравнению с современным алгоритмом SW-ATS превосходит по снижению коэффициента ошибок MAE, который составляет около 25%, повышению полезности данных и обеспечению более надежной защиты конфиденциальности.1. Введение Данные временных рядов представляют собой набор последовательных, больших и непрерывных последовательностей данных. В общем, данные временных рядов можно рассматривать как динамический набор данных, который со временем бесконечно растет. Использование корреляции между значениями данных для анализа и извлечения данных временных рядов может принести значительные выгоды правительству, предприятиям и социальным службам. Например, во время этой вспышки COVID-19 мониторинг и анализ физического состояния пациента могут эффективно лечить болезнь и контролировать распространение эпидемии.Программное обеспечение для навигации должно подсчитать общий объем трафика в определенном временном диапазоне для каждой дороги, чтобы рассчитать лучший маршрут до пункта назначения. Приведенный выше пример иллюстрирует важность публикации данных временных рядов для обнаружения и приобретения знаний. Однако, если куратор не применит соответствующую технологию защиты конфиденциальности и не опубликует данные напрямую, это приведет к утечке личной конфиденциальной информации и нарушению конфиденциальности граждан. Традиционная публикация данных в основном использует анонимные технологии, такие как модель k-анонимности [1] и ее производная модель [2, 3] для защиты конфиденциальности.Однако эти методы сильно зависят от исходных предположений злоумышленника и не могут обеспечить эффективный и строгий метод подтверждения своего уровня защиты конфиденциальности. В некоторых исследованиях [4, 5] используется технология объединения блокчейна и искусственного интеллекта (ИИ) для защиты конфиденциальности данных, но эффективность этой технологии будет низкой, и, когда могут появиться некоторые уязвимости, она столкнется с некоторыми существенными рисками. атака. Дифференциальная конфиденциальность [6] — это строгая и доказуемая технология защиты конфиденциальности, которая может защитить конфиденциальную информацию пользователей от утечки их конфиденциальности [7].Добавляя случайный шум, он ограничивает влияние любой записи на опубликованные статистические результаты, чтобы скрыть существование записи в наборе данных, и конфиденциальность таких пользователей будет в значительной степени защищена. Эта модель широко используется для выпуска различных данных во многих сценариях приложений [8]. Что касается проблемы утечки конфиденциальности при публикации данных временных рядов, существующая работа также может быть решена с помощью модели дифференциальной конфиденциальности. Dwork et al. [9] достигли дифференциальной конфиденциальности на уровне событий в сценарии непрерывной публикации статистических данных.Чтобы уменьшить шум, добавленный в исходные данные временных рядов, Chan et al. [10] предложили принять метод «разделяй и властвуй» на основе двоичного дерева для разложения и хранения данных временных рядов. Мотивация и вклад. Традиционная дифференциальная конфиденциальность широко используется для публикации данных, в то время как Kifer et al. [11] указали, что он все еще сталкивается с риском утечки личной информации при публикации коррелированных данных временных рядов. Текущие методы публикации дифференциальной конфиденциальности коррелированных данных временных рядов в основном включают методы установления моделей корреляции, такие как ковариационная матрица [12] и матрица Маркова [13, 14], а также преобразование данных, например.g., преобразование Фурье [15] и дискретное вейвлет-преобразование (ДВП). Вышеупомянутые методы дифференциальной конфиденциальности сосредоточены на публикации независимых и идентично распределенных (IID) данных, что приведет к следующим проблемам: Недостаточная защита конфиденциальности: добавление независимого идентично распределенного шума к коррелированным данным заставит злоумышленника отфильтровать шум посредством фильтрации атак и других методов, что приводит к раскрытию конфиденциальности пользователя. Низкая полезность данных: поскольку IID-шум добавляется к коррелированным данным, это приведет к снижению уровня защиты конфиденциальности.Чтобы поддерживать тот же уровень дифференциальной защиты конфиденциальности, необходимо добавить больше шума, что приведет к резкому снижению полезности публикуемых данных. Эти проблемы указывают на то, что текущие методы дифференциальной конфиденциальности не подходят для обработки данных временных рядов с корреляцией. Хотя Wang et al. [16] предложил метод CTS-DP для противодействия атакам фильтрации путем добавления шума, согласующегося с корреляцией исходных данных, он игнорировал периодичность данных временных рядов и не смог обеспечить адекватную защиту конфиденциальности.Это также не относится к публикации динамических данных. По сравнению с существующими работами, наш основной вклад резюмируется следующим образом. Во-первых, поскольку данные временных рядов демонстрируют периодические изменения и имеют сильную автокорреляцию, даже если одна запись в наборе данных будет удалена, злоумышленник может вывести информацию об отсутствующих записях из других коррелированных записей. Мы предлагаем периодическую чувствительность, чтобы заменить глобальную чувствительность в традиционной дифференциальной конфиденциальности, чтобы избежать этой ситуации и обеспечить более высокую степень защиты конфиденциальности при том же бюджете конфиденциальности.Во-вторых, на основе периодической чувствительности мы предлагаем механизм скользящего окна для обработки бесконечно растущих и коррелированных данных временных рядов. В-третьих, мы теоретически доказали, что предложенный нами алгоритм публикации коррелированных данных временных рядов на основе скользящего окна (SW-ATS) удовлетворяет дифференциальной конфиденциальности. И по сравнению с современным методом, результаты экспериментов показывают, что SW-ATS может уменьшить количество ошибок и обеспечить более надежную защиту конфиденциальности. 2. Сопутствующие работы В ранних исследованиях публикации данных о дифференциальной конфиденциальности большинство литературных исследований предполагали, что данные независимы.В настоящее время исследования дифференциальной конфиденциальности коррелированных данных все еще относительно ограничены. Поскольку основное препятствие для исследования коррелированной дифференциальной конфиденциальности состоит в том, что коррелированные записи могут предоставить дополнительную информацию для злоумышленников, в то время как традиционные механизмы вряд ли могут ее смоделировать. В этом случае соответствие определению дифференциальной конфиденциальности является сложной задачей. Kifer et al. [11] впервые предложили, что дифференциальная конфиденциальность снизит гарантии конфиденциальности для коррелированных наборов данных, если корреляция между данными не будет учитываться.Например, предположим, что запись r влияет на группу записей. Даже если запись r будет удалена из набора данных, соответствующая информация r может быть получена из этой группы записей. В этом случае традиционная дифференциальная конфиденциальность не может обеспечить достаточную защиту конфиденциальности. Chen et al. [17] рассматривали социальные сети как коррелированные наборы данных и решили проблему недостаточной защиты конфиденциальности, умножив глобальную чувствительность на количество коррелированных записей. Однако этот метод создает слишком много шума, что резко снижает полезность наборов данных.В исследовании коррелированных данных временных рядов Cao et al. [18] использовали функции внутреннего и внутреннего взаимодействия для моделирования связанной информации и использовали эти функции в структуре ассоциаций, чтобы выразить степень ассоциации между поведениями. Они предложили скрытую модель обнаружения Маркова для обнаружения аномального поведения транзакций на основе группирования. Они определили временной интервал и предположили, что поведение, попадающее в тот же интервал, является связанным поведением. Song et al. [19] предложили структуру гибридного связывания, в которой используются некоторые специальные атрибуты для определения взаимосвязи между записями.Zhang et al. [20] предложил соответствующий алгоритм классификации сетевого трафика, использующий IP-адрес для идентификации коррелированных записей сетевого трафика. Чжоу и др. [21] сопоставили коррелированные записи с неориентированным графом и предложили алгоритм обучения с несколькими экземплярами. Wang et al. [16] предложили концепцию неразличимости последовательности и доказали, что корреляции между исходным временным рядом и временным рядом после добавления шума согласованы; тогда добавленный шум соответствует дифференциальной конфиденциальности.Предложенный ими алгоритм публикации данных дифференциального временного ряда CTS-DP добавляет коррелированный шум для обеспечения корреляции добавленного шума. Zhu et al. [12] определили корреляционную чувствительность. Они рассмотрели корреляцию между записями и предложили эффективное решение для дифференциальной защиты конфиденциальности, CIM (механизм коррелированных итераций). CIM использует ковариационную матрицу для описания корреляции между последовательностями и использует ковариационную матрицу в качестве веса для вычисления функции чувствительности.Экспериментальные результаты показывают, что это решение превосходит традиционную дифференциальную конфиденциальность с точки зрения среднеквадратичной ошибки при ответе на большие пакеты запросов. Это также показывает, что коррелированная дифференциальная конфиденциальность может успешно защитить конфиденциальность при сохранении практичности данных. Некоторые ученые преобразуют коррелированные данные временных рядов в другую независимую область для обработки, сохраняя при этом основные характеристики исходной последовательности. Rastogi et al. [15] предложил метод преобразования Фурье (FPA) для решения этой проблемы.В FPA дискретное преобразование Фурье (ДПФ) используется для преобразования коррелированных данных в независимую область Фурье. Приблизительно восстановить коэффициенты ДПФ исходной последовательности. Чтобы преодолеть недостатки FPA в применении к кратковременным и нестационарным последовательностям, в [22, 23] было предложено дискретное вейвлет-преобразование (DWT). DWT расширяет диапазон FPA и сохраняет больше функций последовательности. Хотя существуют трудности в обеспечении дифференциальной конфиденциальности, в литературе [24–26] используется анализ главных компонентов (PCA) для извлечения характеристик набора данных в другое измерение, а опубликованные данные о возмущениях могут быть применены к некоторым распространенным приложениям статистического обучения.В таблице 1 представлена ​​сводка недавних исследований публикации коррелированных временных рядов данных дифференциальной конфиденциальности. Алгоритм Преимущество Ограничение Иглобрюх [27] Алгоритм учитывает корреляцию между данными Не удовлетворяет дифференциальной конфиденциальности PCA [24–26], DFT [15] и DWT [22,23] Исходя из предпосылки сохранения неизменными основных характеристик последовательности, временной ряд корреляции преобразуется в другую независимую область для обработки.